Как найти угол между векторами

Как найти угол между векторами

Поможем с любой работой

  • Угол между векторами
  • Нахождение угла между векторами
  • Расчет угла, если вектор задан координатами
  • Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат
  • Примеры решения задач
    • Задача 1
    • Задача 2
    • Задача 3
  • Угол между векторами
  • Нахождение угла между векторами
  • Расчет угла, если вектор задан координатами
  • Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат
  • Примеры решения задач
    • Задача 1
    • Задача 2
    • Задача 3

Два луча, исходящих из одной точки, ограничивают собой часть плоскости, которая расположена между лучам. Фигура, которая при этом образуется, называется углом. Лучи с общей вершиной в точке начала лучей, называются сторонами угла. Вершина угла расположена в точке начала лучей.

Угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Угол – это геометрическая фигура, имеющая вершину, стороны и свою градусную меру.

Плоскость делится сторонами угла на две части. Меньший из углов называют внутренним, больший — внешним. Для того, чтобы не было разных толкований, о каком из углов идет речь, его стороны на чертеже соединяют дугой. (см. рисунок)

Угловая мера угла

Угол измеряют в градусах, радианах, градах и оборотах (подробнее см. статью «радианы и градусы»).

1 оборот = 360 градусов = 2π радиан = 400 град

Рассмотрим угол, стороны которого совпадают (ВАВ1). Его градусная мера равна 0°

Если одну сторону угла (АВ) закрепить а вторую сторону (АВ1) вращать против часовой стрелки до тех пор, пока она не совпадет с первой стороной (АВ), то плоскость такого угла составит полный угол (рис.5). Следовательно, угол А (обозначается А) – это полный угол.

Обозначение углов

Угол может быть обозначен как комбинация знака угла и его вершины, например А; (рис.1)

Также угол может обозначаться с помощью латинских заглавных букв. Например ∠ABC — это угол с вершиной B, стороны которого — это лучи BA и BC.(рис.2)

Может встречаться обозначение как значок угла с указанием сторон угла (например аb). (рис.3)

Угол может обозначаться греческими буквами α, β, γ и так далее. (рис.4) Исключение составляет только буква «π». Ее для обозначения углов не используют.

Градусная мера угла

Если взять полный угол и разделить его на 360 частей (углов), то каждая часть, составляющая 1/360 часть полного угла, называется угловым радиусом (обозначается 1°).

Следовательно, полный угол равен 1° *360=360°.

Половина полного угла составит развернутый угол, который равен 360°:2=180°.

Для того, чтобы подробнее узнать про радианы, градусы и перевод радиан в градусы см. статью «Радианы и градусы»

Центральный и вписанный в окружность угол


Центральным углом называется угол, вершина которого совпадает с центром окружности (рисунок 2). Градусная мера (величина) такого угла равна градусной мере дуги окружности, заключенной между сторонами угла.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее (рисунок 1). Величина такого угла равна половине угловой меры дуги окружности, которая заключена между его сторонами.

Свойства вписанных в окружность углов:

  • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности — равны.
  • Величина вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу окружности, что и центральный угол, равна половине величины такого центрального угла.

«Угол. Смежные и вертикальные углы»

Ключевые слова конспекта: углы, биссектриса, виды углов, измерение углов, смежные и вертикальные углы, свойства смежных и вертикальных углов, углы при пересечении двух прямых секущей.

Угол — фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки (вершины).
Биссектриса — луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам.

Виды углов. Измерение углов

  • Развернутый угол — угoл, стороны которого лежат на одной прямой.
  • Прямой угoл — угoл, который равен половине развернутого угла.
  • Острый угол — угoл меньше прямого угла.
  • Тупой угoл — угoл больше прямого, но меньше развернутого.

Единицы измерения углов:
Градус — величина (градусная мера) угла, равная части развернутого угла.
Минута — часть градуса.
Секунда — часть минуты.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая,а две другие стороны являются дополняющими лучами.
Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Свойства смежных и вертикальных углов

Углы при пересечении двух прямых секущей

Это конспект по теме «Смежные и вертикальные углы». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к следующему конспекту: Опорные ЗАДАЧИ по теме УГЛЫ
  • Вернуться к Списку конспектов по геометрии

Что такое луч в математике и геометрии

Чаще всего этот вопрос задают в школах, на уроках геометрии, а также понятие достаточно популярно в оптике. Однако, как это часто бывает, слово имеет довольно много значений. Стоит подробнее остановиться на самых ключевых.

Для того, чтобы понять, что такое луч с точки зрения геометрии, нужно рассмотреть одно из фундаментальных понятий этой науки, а именно – прямую.

Дать определение этому термину достаточно трудно, так как оно является одним из исходных, и именно с помощью прямой объясняются другие различные слова. Существует довольно мало аксиом в этом вопросе. Тем не менее, прямую можно трактовать как линию, находящуюся между двумя точками.

Прямая имеет свои свойства, согласно евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести сколько угодно прямых, а вот через две несовпадающие точки – лишь одну. Прямые могут находиться лишь в трех состояниях – они могут пересекаться, быть параллельными друг другу, а также могут скрещиваться. Существует линейное уравнение, задающее прямую на плоскости.

Итак, стоит вернуться к понятию луча. Он является частью прямой. Если на такой линии поставить точку, то автоматически получится два луча, при этом они не будут иметь второй ограничивающей их точки. Таким образом, луч – это часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца.

Геометрическая оптика рассматривает понятие светового луча довольно схожим образом. Здесь он тоже будет являться линией, однако она будет использоваться световой энергией. Иначе говоря, световой луч – это небольшой пучок света.

Как и понятие прямой в геометрии, так и понятие луча в оптике является довольно базовым явлением. Однако, в отличие от геометрического луча, световой не имеет какого-то четкого направления, так как происходит дифракция. Однако, если свет очень большой, то расходимостью принято пренебрегать. В этом случае можно выделить четкое направление.

Помимо базовых терминов в точных науках, этим словом обозначают самые разнообразные объекты. Например, около семи спортивных клубов носили такое название, а некоторые из них существуют до сих пор.

Множество деревень, поселков и хуторов на территории России, Украины и Белоруссии тоже называются Лучами. От них не отстают и суда – причем в этом случае Луч является маркой пассажирских судов, а также целым классом яхт.

Читайте также  Кресло на одной ножке

Эти яхты являются одноместными и используются для гонок. Часто их применяют в качестве обучающего снаряда для детей, однако на нем проводятся и соревнования.

Существуют и другие значения:

  • Этим словом называются три российских спутника-ретранслятора.
  • В Удмуртии и Предуралье выходит журнал с таким названием.
  • Лучом назвали и объединение атомной промышленности.
  • С таким названием есть часовой завод и обувная фабрика в Минске.
  • Луч – это псевдоним чувашского писателя, официальное имя которого Григорий Васильевич Васильев.

Смежные углы (понятие и определение):

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол .

Рис. 1. Смежные углы

В свою очередь, развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180°.

Поэтому сумма величин смежных углов составляет 180 градусов.

Из этого следует, что величина угла β, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет (180° – α) градусов.

Виды углов

Разделяют несколько видов углов:

  • Острый, то есть угол, градусная мера которого меньше 90 градусов. Такое название угол берет за острый носик, который чем-то напоминает наконечник копья.
  • Тупой, то есть угол, градусная мера которого больше 90 градусов. Если копье оббить до состояния, когда им проколоть ничего не получится, то его наконечник можно будет назвать тупоугольным.
  • Прямой, то есть угол, градусная мера которого равняется 90 градусам. Прямой угол во всем мире считается красивым и правильным. Обратите внимание, сколько мебели в классе или любой комнате сделано из досок под прямыми углами: шкафы, столы, подоконники, кухонные уголки и многое другое.
  • Развернутый, то есть угол, градусная мера которого равняется 180 градусам. Если угол развернуть до такой степени, что оба луча станут совпадать, то есть лежать на одной прямой, то получится именно развернутый угол.
  • Полный угол, градусная мера которого равняется 360 градусов. Именно об этом типе углов мы поговорим подробнее.

Окружность

Окружность — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до центра окружности равно.

Центр окръжности

Радиус: расстояние от центра окружности до его границы.

Диаметр: наибольшее расстояние от одной границы окружности до другой. Диаметр равен двум радиусам.

$d = 2cdot r$

Периметр (длина окружности): длина границы окружности.

Длина окружности $= pi cdot$ диаметр $= 2 cdot pi cdot$ радиус
Длина окружности $= pi cdot d = 2 cdot pi cdot r$

$pi$ — pi: число, равное 3,141592. или $approx frac<22><7>$, то есть отношение $frac>>$ любого окружности.

Дуга: изогнутая линия, которая является частью окружности.

Дуги окружности измеряется в градусах или радианах.
Например: 90° или $frac<2>$ — четверть круга,
180° или $pi$ — половина круга.
Сумма всех дуг окружности составляет 360° или $2pi$

Хорда: отрезок прямой, соединяющей две точки на окружности.

Сектор: похож на часть пирога (клин).

Касательная к окружности: прямая, перпендикулярна к радиусу, и имеющая ТОЛЬКО одну общую точку с окуржностью.

Формулы

Длина окружности $=pi cdot text <диаметр>= 2cdot pi cdot text<радиус>$

Площадь круга $= pi cdot$ радиус 2

Радиус обозначается как r , диаметр как d , длина окружности как P и площадь как S .

Площадь сектора круга

Площадь сектора круга K : (с центральным углом $theta$ и радиусом $r$).
Если угол $theta$ в градусах, тогда площадь = $frac <360>pi r^2$
Если угол $theta$ в радианах, тогда площадь, тогда площадь = $frac <2>r^2$

Центральный угол

Если длина дуги составляет $theta$ градуов или радиан, то значение центрального угла также $theta$ (градусов или радиан).

Если вы знаете длину дуги (в дюймах, ярдах, футах, сантиметрах, метрах . ) вы можете найти значение её соответствующего центрального угла ($theta$) по формуле:

Вписанный угол

Вписанный угол это угол с вершиной на окружности и со сторонами, которые содержат хорды окружности.
На рисунке, угол APB это вписанный угол.

Пример:
$widehat = 84^circ$
$angle APB = frac<84> <2>= 42^circ$

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны $frac<1><2>(60^circ + 50^circ)=55^circ$

Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

$angle ABC =frac<1><2>(x — y)$

На рисунке дуга AB=80° и дуги CD=30°.
$angle ABC = frac<1><2>(80 — 30) = frac<1> <2>cdot 50 = 25^circ$

Хорды


Если две хорды пересекаются внутри окружности, как на рисунке выше, тогда:

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Основные углы токарных резцов по металлу и их назначение

Их точность необходимо обеспечивать вплоть до одного-двух градусов. Для этого требуется четко следить за соотношениями взаимных наклонов тройки уже рассмотренных поверхностей.

Главный задний

Он маркируется (α), его роль – в уменьшении трения в зоне механического взаимодействия, и не должен быть «плавающим». Нужно понимать, что его расширение влечет за собой серьезное снижение прочности инструмента – в какой-то момент, при чрезмерном усилии тот может просто сломаться – и даже ухудшает фиксацию хвостовика в держателе, что снижает общую безопасность труда; кроме того, оно провоцирует появление биения и учащает колебания, повышая их амплитуду, и поэтому убыстряет износ. И наоборот, его сужение увеличивает площадь контакта, в результате чего падает точность проведения технологической операции.

Главный передний

Его записывают на чертежах (γ), и он определяет как геометрические параметры токарного резца, так и конечные габариты детали, так как ответственен за снижение деформации снимаемых слоев. Если он узкий, материал удаляется быстро, но точечно. Соответственно, по мере его расширения захватываемого пространства становится больше, но сила воздействия ослабляется, что негативно сказывается на общей производительности. Также толщина лезвия уменьшается, что чревато ухудшением прочности и теплоотвода, более частыми выкрашиваниями.

Читайте также  Сделать полку для книг своими руками

Может быть даже отрицательным – у инструментов, использующихся при обдирке под ударной нагрузкой; они востребованы потому, что воспринимают давление всей своей передней частью, а не только кромкой.

Резания

Он обозначается (δ) и определяет легкость и глубину проникновения приспособления в толщу материала заготовки.

Равен сумме α и β (который следующий на очереди). В подавляющем количестве случаев его выполняют в рамках 60-100 градусов.

Заострения

Его маркировка на чертежах (β), и он говорит о форме вершины. Чем тупее (шире), тем прочнее оказывается лезвие в условиях интенсивной эксплуатации.

Основной угол в плане токарного резца

Его записывают как (φ), и он обуславливает как скорость проведения технологической операции, так и физическую прочность инструмента, которые тем выше, чем он уже. Но не должен быть чересчур малым, так как это чревато возникновением вибраций из-за избыточных радиальных сил.

Находится между проекцией кромки и вектором подачи заготовки.

Вторичный в плане

Обозначается (φ1) и оказывает значительное влияние чистоту детали: чем он шире, тем больше шероховатостей у заготовки; но помните, что со снижением его значения повышается нагрев.

Задний вспомогательный

Его маркируют (α1) и он способствует устранению трения в месте контакта лезвия с деталью, предотвращая повышение температуры в этой зоне, а значит и защищая от преждевременного износа. С его увеличением падает прочность приспособления, и, если он выходит за рекомендованные рамки, это провоцирует поломку.

Вершина между кромкой резца и задней вспомогательной поверхностью

Уже из подзаголовка понятно, на какой точке пересечения она измеряется. И чем она острее, тем лучше снимается материал, но тем быстрее нагревается зона контакта, и тем хуже стойкость к механическим разрушениям, а значит и ниже срок службы.

Наклона

Обозначается (λ), может быть положительным, нулевым или отрицательным. От его показателя зависит, в каком направлении будет сходить металлическая (деревянная, пластиковая) стружка при выполнении технологической операции.