Правильный шестиугольник и его свойства

Правильный шестиугольник и его свойства

Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона — ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.

  • Определение и построение
  • Свойства простые и интересные
    • Описанная окружность и возможность построения
    • Вписанная окружность
    • Периметр и площадь
    • Занимательные построения
  • От теории к практике

Свойства правильного шестиугольника

(по порядку следования формул)

  • Радиус описанной окружности (R) правильного шестиугольника равен его стороне (t)
  • Все внутренние углы равны 120 градусам
  • Радиус вписанной окружности (r) равен корню из трех, деленному на два и умноженному на длину стороны t (радиус описанной окружности R)
  • Периметр правильного шестиугольника (P) равен шести радиусам описанной окружности (R) или четыре корня из трех, умноженным на радиус вписанной окружности (r)
  • Площадь правильного шестиугольника равна трем корням из трех пополам, умноженным на квадрат радиуса описанной окружности (R) или квадрат стороны (t); либо площадь правильного шестиугольника равна двум корням из трех, умноженным на квадрат радиуса вписанной окружности (t)

Шести угольник

Дельта принтеры крайне требовательны к точности изготовления комплектующих (геометрия рамы, длины диагоналей, люфтам соединения диагоналей, эффектора и кареток) и всей геометрии принтера. Так же, если концевые выключатели (EndStop) расположены на разной высоте (или разный момент срабатывания в случае контактных концевиков), то высота по каждой из осей оказывается разная и мы получаем наклонную плоскость не совпадающая с плоскостью рабочего столика(стекла). Данные неточности могут быть исправлены либо механически (путем регулировки концевых выключателей по высоте), либо программно. Мы используем программный способ калибровки.
Далее будут рассмотрены основные настройки дельта принтера.
Для управления и настройки принтера мы используем программу Pronterface.
Калибровка принтера делится на три этапа:

1 Этап. Корректируем плоскость по трем точкам

Выставление в одну плоскость трех точек — A, B, C (расположенных рядом с тремя направляющими). По сути необходимо уточнить высоту от плоскости до концевых выключателей для каждой из осей.
Большинство (если не все) платы для управления трехмерным принтером (В нашем случае RAMPS 1.4) работают в декартовой системе координат, другими словами есть привод на оси: X, Y, Z.
В дельта принтере необходимо перейти от декартовых координат к полярным. Поэтому условимся, что подключенные к двигателям X, Y, Z соответствует осям A, B, C.(Против часовой стрелки начиная с любого двигателя, в нашем случае смотря на логотип слева — X-A, справа Y-B, дальний Z-C) Далее при слайсинге, печати и управлении принтером в ручном режиме, мы будем оперировать классической декартовой системой координат, электроника принтера сама будет пересчитывать данные в нужную ей систему. Это условность нам необходима для понятия принципа работы и непосредственной калибровки принтера.

Точки, по которым мы будем производить калибровку назовем аналогично (A, B, C) и позиция этих точек равна A= X-52 Y-30; B= X+52 Y-30; C= X0 Y60.

Алгоритм настройки:

  1. Подключаемся к принтеру. (В случае “крагозяб” в командной строке, необходимо сменить скорость COM порта. В нашем случае с 115200 на 250000 и переподключится)

    После чего мы увидим все настройки принтера.
  2. Обнуляем высоты осей X, Y, Z командой M666 x0 y0 z0.
    И сохраняем изменения командой M500. После каждого изменения настроек необходимо нажать home (или команда g28), для того что бы принтер знал откуда брать отсчет.
  3. Калибровка принтера производится “на горячую”, то есть должен быть включен подогрев стола (если имеется) и нагрев печатающей головки (HotEnd’а) (Стол 60град., сопло 185 град.) Так же нам понадобится щуп, желательно металлический, известных размеров. Для этих задач вполне подойдет шестигранный ключ (самый большой, в нашем случае 8мм, он предоставляется в комплекте с принтерами Prizm Pro и Prizm Mini)
  4. Опускаем печатающую головку на высоту (условно) 9мм (от стола, так, что бы сопло еле касалось нашего щупа, т.к. высота пока что не точно выставлена.) Команда: G1 Z9.
  5. Теперь приступаем непосредственно к настройке наших трех точек.
    Для удобства можно вместо g- команд создать в Pronterface четыре кнопки, для перемещения печатающей головки в точки A, B, C, 0-ноль.

  • Последовательно перемещаясь между тремя точками (созданными ранее кнопками или командами) выясняем какая из них находится ниже всего (визуально) и принимает эту ось за нулевую, относительно нее мы будем менять высоту остальных двух точек.
  • Предположим, что точка A у нас ниже остальных. Перемещаем головку в точку B(Y) и клавишами управления высотой в Pronterface опускаем сопло до касания с нашим щупом, считая величину, на которую мы опустили сопло (в лоб считаем количество нажатий на кнопки +1 и +0.1)
    Далее командой меняем параметры высоты оси Y: M666 Y <посчитанная величина>
    M666 Y0.75
    M500
    G28
  • Ту же операцию проделываем с оставшимися осями. После чего следует опять проверить высоту всех точек, может получится, что разброс высот после первой калибровки уменьшится, но высота все равно будет отличатся, при этом самая низкая точка может изменится. В этом случае повторяем пункты 6-7.
  • 2 Этап. Исправляем линзу

    После того как мы выставили три точки в одну плоскость необходимо произвести коррекцию высоты центральной точки. Из за особенности механики дельты при перемещении печатающей головки между крайними точками в центре она может пройти либо ниже либо выше нашей плоскости, тем самым мы получаем не плоскость а линзу, либо вогнутую либо выпуклую.

    Корректируется этот параметр т.н. дельта радиусом, который подбирается экспериментально.

    Калибровка:

    1. Отправляем головку на высоту щупа в любую из трех точек стола. Например G1 Z9 X-52 Y-30
    2. Сравниваем высоту центральной точки и высоту точек A,B,C. (Если высота точек A, B, C разная, необходимо вернутся к предыдущей калибровки.)
    3. Если высота центральной точки больше остальных, то линза выпуклая и необходимо увеличить значение дельта радиуса. Увеличивать или уменьшать желательно с шагом +-0,2мм, при необходимости уменьшить или увеличить шаг в зависимости от характера и величины искривления (подбирается экспериментально)
    4. Команды:
      G666 R67,7
      M500
      G28
    5. Подгоняем дельта радиус пока наша плоскость не выровняется
    3 Этап. Находим истинную высоту от сопла до столика

    Третьим этапом мы подгоняем высоту печати (от сопла до нижней плоскости — столика) Так как мы считали, что общая высота заведомо не правильная, необходимо ее откорректировать, после всех настроек высот осей. Можно пойти двумя путями решения данной проблемы:
    1 Способ:
    Подогнав вручную наше сопло под щуп, так что бы оно свободно под ним проходило, но при этом не было ощутимого люфта,

    • Командой M114 выводим на экран значение фактической высоты нашего HotEnd’а
    • Командой M666 L получаем полное значение высоты (Параметр H)
    • После чего вычитаем из полной высоты фактическую высоту.
    • Получившееся значение вычитаем из высоты щупа.

    Таким образом мы получаем величину недохода сопла до нижней плоскости, которое необходимо прибавить к полному значению высоты и и записать в память принтера командами:
    G666 H 235.2
    M500
    G28

    2 Способ:
    Второй способ прост как валенок. С “потолка”, “на глаз” прибавляем значение высоты (после каждого изменение не забываем “уходить” в home), добиваясь необходимого значения высоты, но есть шанс переборщить со значениями и ваше сопло с хрустом шмякнется об стекло.

    Как сделать авто калибровку для вашего принтера и что при этом авто калибрует принтер вы узнаете из следующих статей.

    Решение простого примера

    Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

    Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

    Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

    Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

    С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

    Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E 2 = C1C 2 + CE = 2 2 + (4 c3) 2 . C1E 2 = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.

    Площадь правильного шестиугольника

    Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.

    В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника. Это и металлическая гайка, и ячейки пчелиных сот, и структура снежинки. Шестиугольными фигурами отлично заполняются плоскости. Так, например, при мощении тротуарной плитки мы можем наблюдать, как плитка укладывается одна возле другой, не оставляя пустых мест.

    Свойства правильного шестиугольника

    • Правильный шестиугольник всегда будет иметь равные углы, каждый из которых составляет 120˚.
    • Сторона фигуры равняется радиусу описанной окружности.
    • Все стороны в правильном шестиугольнике равны.
    • Правильный шестиугольник плотно заполняет плоскость.

    Как посчитать площадь правильного шестиугольника?

    Площадь правильного шестиугольника можно рассчитать, разбив его на шесть треугольников, каждый из которых будет иметь равные стороны.

    Для расчета площади правильного треугольника используется следующая формула:

    Зная площадь одного из треугольников, можно легко рассчитать площадь шестиугольника. Формула для ее расчета проста: поскольку правильный шестиугольник — это шесть равных треугольников, следует площадь нашего треугольника умножить на 6.

    Если провести от центра фигуры к любой из ее сторон перпендикуляр, получим отрезок, который называется апофема. Рассмотрим, как найти площадь шестиугольника при известной апофеме:

    1. Площадь = 1/2*периметр*апофему.
    2. Предположим, наша апофема равняется 5√3 см.

    1. Используя апофему, находим периметр: Поскольку апофема расположена перпендикулярно к стороне шестиугольника, то углы треугольника, созданного при помощи апофемы, будут равняться 30˚—60˚—90˚. Каждая сторона полученного треугольника будет соответствовать: x-x√3-2x, где короткая сторона, которая расположена напротив угла в 30˚— это x, длинная сторона, расположенная напротив угла в 60˚ — это x√3, а гипотенуза — 2x.
    2. Поскольку апофема представлена, как x√3, можно подставить ее в формулу a = x√3 и решить. Если, к примеру, апофема = 5√3, тогда подставим эту величину в формулу и получим: 5√3 см = x√3, или x = 5 см.
    3. Итак, короткая сторона треугольника равняется 5 см. поскольку эта величина является половиной длины стороны шестиугольника, умножаем 5 на 2 и получим 10 см, которая является длиной стороны.
    4. Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
    5. Подставим полученные результаты в нашу формулу:

    Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах:

    ½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см²

    Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника

    masterok

    Хочу все знать

    На Северном полюсе Сатурна существует уникальный феномен — в атмосфере висит гигантское облако правильной шестиугольной формы. Каждая из сторон шестиугольника (его еще называют Гексагоном Сатурна) имеет в длину 13 800 километров и сравнима с размерами Земли.

    Давайте узнаем о нем подробнее …

    Шестиугольник вращается — каждые 10 часов 39 минут он совершает полный оборот вокруг своей оси. В отличие от остальных облаков в атмосфере Сатурна, шестиугольник не смещается и все время находится на одном и том же месте.

    На Южном полюсе Сатурна никаких шестиугольников нет — зато там есть огромная воронка в атмосфере. В центре шестиугольника на Северном полюсе тоже есть такая воронка. Впервые этот феномен обнаружили космические аппараты проекта «Вояджер» в начале 1980-х годов. Когда в 2006 году к Сатурну подлетел аппарат «Кассини», он снял на видео вращение шестиугольника.

    На сегодняшний день нет определенного научного определения для шестиугольника Сатурна, которое бы объясняло этот атмосферный феномен. Геометрически правильный шестиугольник в 25 тыс. километров в поперечнике находится на северном полюсе планеты. Его «стены» уходят вглубь атмосферы на расстояние до 100 километров.

    Сатурн – шестая планета от Солнца и вторая по размерам в Солнечной системе, состоит из водорода, с примесями гелия, следами воды, метана, аммиака и тяжелых элементов.

    Фотография выше была сделана 27 ноября 2012 года с расстояния 376 171 км. за северным полюсом Сатурна с помощью орбитального аппарата Кассини, принадлежащего НАСА. На фото запечатлено очень интересное атмосферное явление, которое ранее нигде не встречалось.

    А вот приближенное изображение вихря в центре шестиугольника:

    Фото сделано также 27 ноября 2012 года с помощью специальных фильтров P0 и CB2. Камера Кассини была направлена в сторону Сатурна примерно на расстоянии 400 048 километров.

    Другой вид шестиугольника Сатурна:

    Учёные из Оксфордского университета смогли в лабораторных условиях смоделировать возникновение подобного гексагона. Чтобы выяснить, как возникает такое образование, исследователи поставили на вертящийся стол 30-литровый баллон с водой. Она моделировала атмосферу Сатурна и её обычное вращение. Внутри учёные поместили маленькие кольца, вращающиеся быстрее ёмкости. Это генерировало миниатюрные вихри и струи, которые экспериментаторы визуализировали при помощи зелёной краски. Чем быстрее вращалось кольцо, тем больше становились вихри, заставляя близлежащий поток отклоняться от круговой формы. Таким образом авторам опыта удалось получить различные фигуры — овалы, треугольники, квадраты и, конечно, искомый шестиугольник.

    Учёные сопоставили данные опыта с происходящим на Сатурне и выдвинули предположение, что в его высоких северных широтах отдельные струйные течения разогнаны как раз до той скорости, при которой формируется нечто вроде устойчивой волны — планетарный гексагон. И хотя «расследование» не раскрывает происхождения подобных течений, оно показывает, почему вся система столь красива и, главное, столь долго живёт

    «Чем быстрее вращается кольцо, тем меньше становится круговое движение зеленой струи. Малые вихри образуются по краям, медленно становятся все больше и больше, и заставляют жидкость меняться из формы кольца в многоугольник. Изменяя скорость вращения кольца, ученые могут создавать различные формы. «Мы могли бы создавать овалы, треугольники, квадраты и почти все, что угодно», говорит физик Оксфордского Университета Питер Рид (Peter Read). Чем больше разница в скорости вращения планеты и струйного течения – в опыте это цилиндр и кольцо – тем меньше сторон будет у многоугольника. Физики университета предполагают, что струйное течение северного полюса Сатурна вращается с определенной скоростью по отношению к остальной части атмосферы, что способствует созданию формы шестиугольника».

    А вот снимок, сделанный ранее в 2006 году инфракрасной камерой:

    Это было первое изображение, содержащее в одном кадре всю фигуру и область, прилегающую к северному полюсу Сатурна.

    И хотя ученые не пришли к единогласному выводу о происхождении этого вихря, нам остается любоваться поистине завораживающей красотой планеты.

    Давайте еще вспомним про Загадочный Япет и где можно наблюдать Мощнейший ураган в Солнечной системе

    Posts from This Journal by “Космос” Tag

    Смогут ли американцы попасть на Луну к 2024 году?

    Вообще-то сроки очень амбициозные даже с учетом того, что они уже 50 лет назад там были. НАСА опубликовало свой первый полный план подготовки…

    Существуют ли технологии искусственной гравитации?

    В научно-фантастических фильмах, где корабль летит к далекой галактике, экипаж внутри в большинстве случаев находится не в невесомости, а спокойно…

    «Союз МС-17» — самый быстрый пилотируемый корабль в мире

    Когда Илон Маск повторяет то, что уже делалось несколько десятилетий назад, то все восторженно хлопают в ладоши и называют его гением. А когда в…

    Информация об этом журнале

    • Цена размещения 300 жетонов
    • Социальный капитал38 883
    • В друзьях у 2 500+
    • Длительность 5 часов
    • Минимальная ставка 300 жетонов
    • Правила
    • Посмотреть все предложения по Промо
    • 1
    • Reply
    • Thread
    • Reply
    • Thread

    Да, похоже, Оксфорд частично разгадал загадку образования гексагона на полюсе Сатурна, получив похожее явление в лаборатории.

    Естественная конвекция в горизонтальном слое часто тоже даёт гексагональные структуры, но там их много и они плотно упакованы. Так что, это — не тот случай.

    Много интересных структур образуется при истечении свободных струй, особенно, — с горением. Подавляющее большинство исследователей считают, что причина их образования — так называемая «волновая неустойчивость» течения. Думаю, учёные из Оксфорда тоже склоняются к этой причине для своего случая. Но это — НЕВЕРНО или не совсем верно. Волновые процессы, конечно, часто создают симметричные собственные состояния, но нужно ещё найти (выяснить) конкретный НЕЛИНЕЙНЫЙ механизм такого поведения.

    А реальный процесс, думаю, гораздо проще. Но он не принят к «употреблению». Всё дело в КОНДЕНСАЦИИ элементарных вихрей, когда внутренние слои движутся быстрее(!) внешних и их ТРЕНИЕ приводит к образованию этих вихрей. (Механизм, кстати, аналогичен образованию структур в струях). А дальше вступает в игру ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ, известный и знаменитый в механике, но не находящий себе применения в ТЕРМОДИНАМИКЕ. Этот принцип заставляет образующиеся структуры быть КОМПАКТНЫМИ и, если нужно, — СИММЕТРИЧНЫМИ.

    Вот это может быть вклад наших, русских учёных в разгадку феномена. Если сможет.

    • Reply
    • Thread
    • Reply
    • Thread
    • Reply
    • Thread
    • Reply
    • Thread
    • Reply
    • Parent
    • Thread

    это старый пост

    Почему северный полюс Сатурна сформировался в правильный шестиугольник, и имеет ли это какое-то отношение к магнитным триместрам, детально изображенным на пиктограммах из кругов на полях? Так как шестиугольник не меняется, а триместры появляются периодически, непосредственно это с ними не связано, но механизмы образования подобны. Люди думают о магнетизме как полярном явлении с северным и южным полюсами, и что от одного к другому полюсу магнита или планеты по линиям магнитного поля перемещается единственный направленный огибающий поток. Люди думают об электронах как о единственной субатомной частице, хотя вообще понимают, что магнетизм вызван потоком других субатомных частиц, магнетронов. Магнетизм — это постоянный поток магнитных частиц, проходящих по пути наименьшего сопротивления, который имеет две общие характерные черты поведения субатомных частиц, – каждая из них привлекается своим собственным родом воздействия, и в то же время они стремятся избегать скоплений. Сатурн – газообразная планета, и поэтому легко может формировать изменения. Он имеет вокруг своего экватора великолепное кольцо, показывающее, что некие частицы вытекают из его полюсов и возвращаются в его экватор, подобно поведению потоков солнечных частиц, вынуждающих планеты выстраиваться в плоскости эклиптики, как полях шляпы, окружающие ее середину. Однако Сатурну не свойственен магнетизм, у него нет твердого ядра или магнитного поля, но он действует скорее как воронка, направляющая через себя магнитные частицы. Поэтому он, как и другие газообразные планеты солнечной системы, имеет по отношению к Солнцу обратное магнитное выравнивание. Даже ребенок замечает, что сильный поток воды течет неровно, поскольку бьющая струей из крана вода разделяется на многочисленные потоки, приспосабливая поверхностное натяжение к стремлению как можно быстрее снизить давление. Даже ребенок замечает, что выливающаяся из перевернутой вверх дном бутылки содовая вода будет застревать, в то время как формирующийся в пустеющей бутылке вакуум внезапно всасывает воздух мимо потоков содовой. И сколько бы человек ни размышлял, наблюдая текущую через дамбу воду, его удивляет, почему в некоторых местах водная масса вспучивается, а в других разглаживается, хотя в этом месте явно не находится никаких объектов, чтобы вызвать такое различие. Шестиугольник на Сатурне сформировался потому, что для быстрого всасывания в проходящую через планету трубу из окрестностей собираются магнитные частицы, деформируя в этом месте магнитное поле Солнца. Шестиугольник просто отражает точки, где давление в этом потоке приводит к его нарушению. Когда оно достигает момента, когда давление можно вынести, поток перестает нарушаться. Почему тогда получается шестиугольник, а не квадрат или восьмиугольник? На солнечной стороне Сатурна магнитное поле Солнца сильнее, и поэтому, когда происходит нарушение его потока на солнечной стороне, для сохранения баланса необходимо, чтобы возникало и второе нарушение потока, таким образом, образуются три потока, которые при их нарушении должны сформировать шестиугольник.

    18. Двойственная сетка для шестиугольной — треугольная

    Это значит: если какая-то игра играется в узлах треугольной сетки, она, по сути, играется на клетках шестиугольной. Этот факт полезен и для разработки игр, и для написания алгоритмов. Если вы пишете «уголки», вам надо писать логику на шестиугольной сетке, а не на треугольной!

    Владивосток-Москва

    Имя Анны Харченко известно искушенным поклонникам современного офисного дизайна, хотя еще несколько лет тому назад друзья и близкие наперебой отговаривали ее от переезда в Москву. Во Владивостоке выучилась на дизайнера, сделала первые шаги в профессии, выпустила коллекцию керамической плитки. Все решила командировка: Анна сразу прониклась атмосферой и возможностями столицы. В первопрестольную она привезла свой главный багаж – смелые и нестандартные идеи.

    Мебельная история для Анны Харченко началась со стола «Гексагон». «Это очередной конкурсный проект, — рассказывает героиня. – В то время я была завсегдатаем дизайнерских конкурсов, чтобы обратить внимание на свою работу».

    Внимания жюри стол-шестигранник так и не снискал, но Анну неудачи только мотивировали. Прототип «Гексагона» побывал на миланской выставке и получил одобрение итальянской публики. Чуть позже на проект начинающего дизайнера обратили внимание российские коллеги. Компания Archpole предложила для его реализации свои производственные мощности. Чуть позже коллекция «Гексагон» стала главной фишкой офиса архитектурно-производственной лаборатории.

    Техническое черчение

    Popular

    Основы черчения

    Строительное

    Машиностроительное

    Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

    Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

    Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

    Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

    Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

    1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

    Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

    Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

    Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

    Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

    Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

    Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

    Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

    Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

    Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

    Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

    Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

    Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

    Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

    Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

    Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

    Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

    Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

    В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

    Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.